A terület a görbe vonalú trapéz

Tegyük fel, hogy a funkció nem negatív és folyamatos az intervallumon. Ezután szerint a geometriai jelentése a határozott integrál, terület a görbe vonalú trapéz által határolt felső grafikon a funkciót, az alsó - tengellyel. bal és jobb - és egyenes (lásd 2. ábra ..) kiszámítása a következő képlettel

9. példa Find területe az ábra által határolt vonal és a tengely.

Határozat. A grafikon a függvény egy parabola ágai lefelé irányulnak. Építünk ki (ábra. 3). Határértékeinek megállapítására integrációs találunk a metszéspont a vonal (parabola) a tengely (egyenes vonal). Ehhez megoldjuk az egyenletrendszert

Kapjuk. hol. ; ezért. .

Szögletes formák a (5) képletű:

Ha ez a funkció nem pozitív és folyamatos az intervallumon. a területet a görbe vonalú trapéz, alulról korlátos a függvény grafikonját fenti - tengellyel. A balra és jobbra - és egyenes. Úgy kell kiszámítani, az általános képletű

Ha a függvény folytonos az intervallum és változások aláírására egy véges számú pontot, akkor a terület a satírozott ábra (. 4. ábra) egyenlő az algebrai összege a megfelelő határozott integrálok:

Példa 10. Számítsuk ki a területen az ábra által határolt tengelye és a grafikon a funkció.

Határozat. Azt, hogy a rajz (5.). A keresési terület négyzetösszege és. Engedje meg, az e területek mindegyikén. Először meghatározzák, az integráció, megkapjuk a rendszer a gondolkodás. . ezért:

Így a terület az árnyékolt szám

Végül legyen görbe vonalú trapéz korlátos felett és alatt a grafikonok folytonos függvények a szegmens és a.
és a bal és jobb - és egyenes (6. ábra). Ezután a területet képlettel számítottuk ki

11. példa keresése terület az ábrán által határolt vonal és.

Határozat. Ez a szám ábrán látható. 7. kiszámítja a mérete, amelyet a képlet (8). Megoldása a rendszer található. ; ezért. . A szegmens van. Ennélfogva, a (8) képletű veszünk X, és -. kapjuk:

Bonyolultabb feladatok megoldására a számítás a területek elosztjuk a szám diszjunkt alkatrészek és kiszámítjuk a terület az egész szám összegeként területén ezeket a részeket.

12. példa Find a terület az ábra által határolt vonalak. . .

Határozat. Azt, hogy a rajz (ábra. 8). Ez a szám lehet tekinteni, mint egy íves trapéz által határolt alsó tengelye. A balra és jobbra - és egyenes. top - grafikonok a funkciók és. Mivel az ábrán határolja felülről a grafikonok a két funkciót, hogy kiszámítsa a területen elosztjuk ez a szám egyenes két részre (1 - a metszéspontja az abszcissza a vonal és a). A terület Ezen alkatrészek mindegyikének megtalálható a képlet (4):

(Téri. U.); (Q. U.). ezért: